Взаимосвязь математических моделей, описываемых уравнениями с производными целого и дробного порядков

Станислав Юрьевич Лукащук

Аннотация


Предложен эвристический принцип эквивалентности дифференциальных уравнений с производными дробного и целого порядков, в соответствии с которым для любого обыкновенного дробно-дифференциального уравнения существует эквивалентное ему по решению обыкновенное дифференциальное уравнение с производными целого порядка, связанное с исходным дробно-дифференциальным уравнением некоторым нелокальным преобразованием. В результате задача исследования математической модели, описываемой дробно-дифференциальным уравнением, сводится к задаче поиска нелокального преобразования, переводящего это уравнение в эквивалентное уравнение с производными целого порядка, и исследованию этого эквивалентного уравнения. В работе приводятся примеры эквивалентных по решению уравнений, подтверждающие предложенный принцип, обсуждаются условия однозначной разрешимости и некоторые качественные свойства таких уравнений. Также показано, что понятие эквивалентности по решению распространяется и на уравнения в частных производных и может быть использовано для построения новых дробно-дифференциальных моделей.


Ключ. слова


математическая модель; дробно-дифференциальное уравнение; принцип эквивалентности; эквивалентность по решению; нелокальное преобразование; инвариантность; симметрия

Полный текст:

PDF

Литература


Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев, О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их прило-жения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [ S. Samko, A. Kilbas, O. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. Gordon & Breach Sci. Publishers, 1993. ]

Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p. [ A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. ]

Учайкин В. В. Метод дробных производных. Улья-новск: Изд-во <<Артишок>>, 2008. 512 c. [ V. V. Uchaikin, Fractional derivatives method, (in Russian). Ul'yanovsk: <> publisher, 2008. ]

Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. 2003. Т. 173, № 8. C. 847–876. [ V. V. Uchaikin, “Self-Similar Anoma-lous Diffusion and Levy-Stable Laws”, in Physics-Uspekhi, vol. 46, no. 8, pp. 821–849, 2003. ]

Аномальная диффузия радионуклидов в сильноне-однородных геологических формациях / Под. ред. Л. А. Большова. Ин-т проблем безопасного развития атом-ной энергетики РАН. М.: Наука, 2010. 342 с. [ Anomalous Radionuclide Diffusion in Highly Heterogeneous Geological Formations, ed. by L. A. Bolshov, (in Russian). Nuclear Safety Institute (IBRAE) RAS. Moscow: Nauka, 2010. ]

Metzler R., Klafter J. The Random Walk's Guide to Anomalous Diffusion: A Fractional Dynamic Approach // Phys-ics Reports. 2000. V. 339. C. 1–77. [ R. Metzler, J. Klafter, “The Random Walk's Guide to Anomalous Diffusion: A Fractional Dynamic Approach”, in Physics Reports, vol. 339, pp. 1–77, 2000. ]

Anomalous Transport: Foundations and Applications / R. Klages, G. Radons, I. M. Sokolov (eds.). Berlin: Willey-VCH, 2008, 584 p. [ Anomalous Transport: Foundations and Applica-tions / R. Klages, G. Radons, I. M. Sokolov (eds.). Berlin: Willey-VCH, 2008. ]

Fractional Dynamics: Recent Advances / J. Klafter, S. C. Lim, R. Metzler (eds.). Singapore: World Scientific, 2011, 532 p. [ Fractional Dynamics: Recent Advances / J. Klafter, S. C. Lim, R. Metzler (eds.). Singapore: World Scientific, 2011. ]

Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовиц и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с. [ Hand-book of mathematical functions / M. Abramovitz and I. A. Stegun (eds.). Washington: U.S. Government Printing Office, 1972. ]

Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с. [ A. V. Pskhu, Partial fractional differential equations. Moscow: Nauka, 2005. ]

Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукашук С. Ю. Не-прерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9, № 3 (21). С. 125–135. [ R. K. Gazizov, A. A. Kasatkin, and S. Yu. Lukashchuk, “Continuous transformation groups for fractional differential equations” (in Russian), in Vestnik UGA-TU, vol. 9, no. 3 (21), pp. 125–135, 2007. ]

Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с. [ M. M. Dzhrbashyan, Integral transformations and representations of functions in complex domain. Moscow: Nauka, 1966. ]

Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с. [ K. Yosida, Functional analysis. Springer, 1995. ]

Lukashchuk S. Yu. Time-fractional extensions of the Liouville and Zwanzig equations // Central European Journal of Physics. 2013. V. 11, № 6. Pp. 740–749. [ S. Yu. Lukashchuk, “Time-fractional extensions of the Liouville and Zwanzig equa-tions”, in Central European Journal of Physics, vol. 14, no. 6. pp. 740–749, 2013. ]


Ссылки

  • Ссылки не определены.